Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2022 год

Жол бойында 8 баған тұр. Торғай бірінші бағаннан бастайды, әр минут сайын көршілес бағанға ұшып барады. $a(n)$ деп — $2n+1$ ұшудан кейін соңғы бағанға жетудің жолдарының санын белгілейік (мұнда $a(m)=0$ егер $m<3$ болса). Барлық $n\ge4$ үшін $$a(n)-7a(n-1)+15a(n-2)-10a(n-3)+a(n-4)=0$$ екенін дәлелдеңіз. ( Ф. Петров, Т. Амдеберхан )