Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
1) Из условия следует, что E и P симметричны относительно AB;
D и P симметричны относительно AC;
F и P симметричны относительно BC;
Отсюда следует, что △BEP,△AEP,△APD,△BPF− равнобедренные
2)Из [1] следует, что ∠BEP=∠BPE;∠AEP=∠APE;∠BPF=∠BFP
3) Если доказать, что ∠APF=180∘, можно утверждать, что точка P лежит хотя бы на одной из высот (а именно AF)
4)Рассмотрим сумму углов, из которых состоит ∠APF
∠APF=∠APE+∠EPB+∠BPF
Из [2] следует, что ∠APF=∠AEP+∠BEP+∠BFP
Обратим внимание, что AEBF вписан в окружность. Свойство вписанных в окружность четырёхугольников-сумма противоположных углов равна 180∘
∠APF=∠AEP+∠BEP+∠BFP=∠AEB+∠BFP=180∘
5) Теорема: все высоты треугольника пересекаются в одной точке
6) Из [5] следует, что достаточно доказать, что P лежит и на второй высоте, чтобы P стало точкой пересечения высот (это и просят доказать в задаче)
Аналогично [3], покажем, что ∠BPD=180∘
Рассмотрим сумму углов, из которых состоит ∠BPD
∠BPD=∠DPA+∠EPB+∠APE
Сравнимся с выражением [4]
∠APF=∠APE+∠EPB+∠BPF
Покажем, что ∠BPF=∠DPA. Они равны как опирающиеся на равные дуги AD и AE
Правые части выражений равны, значит и левые равны
∠BPD=∠APF=180∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.