Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып


Сүйір бұрышты ABC үшбұрышының ішінде алынған P нүктені үшбұрыштың қабырғаларына қатысты симметриялы нүктелердің бәрі ABC үшбұрышына сырттай сызылған шыңбердің бойында жатақаны белгілі болса, онда P нүктесі — ABC үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
4 года 8 месяца назад #

1) Из условия следует, что E и P симметричны относительно AB;

D и P симметричны относительно AC;

F и P симметричны относительно BC;

Отсюда следует, что BEP,AEP,APD,BPF равнобедренные

2)Из [1] следует, что BEP=BPE;AEP=APE;BPF=BFP

3) Если доказать, что APF=180, можно утверждать, что точка P лежит хотя бы на одной из высот (а именно AF)

4)Рассмотрим сумму углов, из которых состоит APF

APF=APE+EPB+BPF

Из [2] следует, что APF=AEP+BEP+BFP

Обратим внимание, что AEBF вписан в окружность. Свойство вписанных в окружность четырёхугольников-сумма противоположных углов равна 180

APF=AEP+BEP+BFP=AEB+BFP=180

5) Теорема: все высоты треугольника пересекаются в одной точке

6) Из [5] следует, что достаточно доказать, что P лежит и на второй высоте, чтобы P стало точкой пересечения высот (это и просят доказать в задаче)

Аналогично [3], покажем, что BPD=180

Рассмотрим сумму углов, из которых состоит BPD

BPD=DPA+EPB+APE

Сравнимся с выражением [4]

APF=APE+EPB+BPF

Покажем, что BPF=DPA. Они равны как опирающиеся на равные дуги AD и AE

Правые части выражений равны, значит и левые равны

BPD=APF=180