Областная олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс

Вычислите значение выражения $\left[ {\sqrt {2010^2 + 1} + \sqrt {2010^2 + 2} + \dots + \sqrt {2010^2 + 4020} } \right],$ где $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Комментарий/решение

Ответ: 8082210

Корень из первого слагаемого равен 2010,00025 , а из последнего слагаемого 2010,99975 . Этот ряд чисел представляет собой почти арифмитическую прогрессию, поэтому её сумму найдем так: $$\dfrac {2010,00025+2010,99975}{2}×4020=8082210$$

Не обязательно $\sqrt{n}+2d=\sqrt{n+1}+d=\sqrt{n+2}$

То есть тут нельзя применять арифметическую прогрессию

$ 1\le k\le 4020\ \ \Rightarrow \ \ 2010<\sqrt{2010^2+k}<\sqrt{2010^2+4020+1}=2011 \ \ $

$\frac{k}{4021}<\frac{k}{\sqrt{2010^2+k}+2010}<\frac{k}{4020}\ \ \ \Rightarrow \ \ \frac{k}{4021}<\sqrt{2010^2+k}-2010<\frac{k}{4020}$

$2010+\frac{k}{4021}<\sqrt{2010^2+k}<2010+\frac{k}{4020}$

$\sum\limits_{k=1}^{4020}(2010+\frac{k}{4021})<\sum\limits_{k=1}^{4020} \sqrt{2010^2+k}<\sum\limits_{k=1}^{4020}(2010+\frac{k}{4020})$

$\Rightarrow 4020\cdot 2010+2010 <\sum\limits_{k=1}^{4020} \sqrt{2010^2+k}<4020\cdot 2010+2010+\frac{1}{2}$

$\left[ \ \ \sum\limits_{k=1}^{4020} \sqrt{2010^2+k} \ \ \right] =4020\cdot 2010+2010$

$2010=n \ \ $ болсын. $1\le k\le 2n \ \ \Rightarrow \ \ n< \sqrt{n^2+k}<n+1$

$\sqrt{n^2+k}=n+a_k$ болсын. Мұндағы $a_k\in (0,1), \ \ k=1,2,3,...,2n$

$n^2+k=(n+a_k)^2 \ \ \Rightarrow \ \ k=2na_k+a_k^2$

$a_k\in (0,1) \ \Rightarrow \ \ a_k>a_k^2>2a_k-1$

$\Rightarrow 2na_k+2a_k-1<k<2na_k+a_k \ \ \Rightarrow \ \ \frac{k}{2n+1}<a_k<\frac{k+1}{2(n+1)}$

$\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{k}{2n+1}<\sum\limits_{k=1}^{2n} a_k< \sum\limits_{k=1}^{2n}\frac{k+1}{2(n+1)}$

$n<\sum\limits_{k=1}^{2n} a_k<\frac{(2n+1)(2n+1)-1}{2(n+1)}<n+1$

$2n^2+n<\sum\limits_{k=1}^{2n} (n+a_k)<2n^2+n+1$

$2n^2+n<\sum\limits_{k=1}^{2n} \sqrt{n^2+k}<2n^2+n+1$

$\left[ \sum\limits_{k=1}^{2n} \sqrt{n^2+k} \right]=2n^2+n$