Математикадан облыстық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Воспользуемся следующей леммой.
Лемма. В треугольник ABC вписана окружность с центром I, которая касается AC в точке B1. Пусть прямая, проходящая через точку B1 и перпендикулярная BB1, пересекает прямые AI и CI соответственно в точках K и L. Тогда треугольник BKL равнобедренный и подобен треугольнику BA1C1.
Доказательство. Пусть вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках C1 и A1 соответственно.
Обозначим N=B1C1∩CI, M=B1C1∩BI, T=BI∩C1A1. Пусть C1 лежит на отрезке B1N. Тогда ∠BIN=∠B/2+∠C/2=90∘−∠A/2=∠AC1B1=∠NC1B, то есть точки B,I,C1,N лежат на одной окружности с диаметром BI. Откуда ∠BNC=90∘. Также можно показать, что ∠BMC=90∘. Следовательно, каждая из четверок (B,C,M,N), (B,L,B1,N) лежат на одной окружности. Откуда следует цепочка равенств ∠LBB1=∠LNB1=∠CBM=∠A1BT, что дает подобие прямоугольных треугольников LBB1 и A1BT. Аналогично, △KBB1∼△C1BT. Значит, △BA1C1∼△BKL и так как BA1=BC1, то BL=BK.
Можно заметить, что из использованного метода доказательства, лемма верна и для точки касания вневписанной окружности соответствующей вершине B.
Спасибо, а не могли бы вы предоставить решение этой задачи, очень уж она меня заинтересовала.
Достаточно заметить, что:
В треугольниках APR - A0, I
DRQ -D0, I
PBR - B0, I
QCR - C0, I изогонально сопряжены.Из полученного нетрудно вывести, что ∠A0RD=∠PRI=∠B0RB. Аналогично ∠ARD0=∠IRQ=∠BRC0. Также ∠D0RP=∠QRB0. Значит RQ - биссектриса ∠D0RC0. Учитывая, что RQ перпендикулярна D0C0 получаем, что RD0C0 равнобедренный, RD0=RC0. Аналогично A0R=B0R. В совокупности с равенствами из изогональной сопряженности это дает нам равенство треугольников A0RD0 и B0RC0, откуда и вытекает требуемое
Можете обьяснить как треугольник KBB1 подобен треугольнику C1BT
нафик тебе обьеснение если ты тупой полибому не понимаеш этот задача
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.