Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 7 класс.

Тікбұрышты $A B C$ үшбұрышының $A B$ гипотенузасына $C H$ биіктігі түсірілген. $C K$ мен $C L$ сәйкес $A C H$ мен $B C H$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $L$ нүктесі $A B$ гипотенузасының ортасы болған болса, келесі қатынасты есептеңіз: $\frac{2CH-AK}{KL}$.

Комментарий/решение

Пусть BC = x, AC = y и AB = z, ∠A = a. Тогда

∠B = 90 - a, ∠ACH = 90 -a, ∠BCH = a

∠ACK = ∠KCH = 45 -a/2 , ∠BCL = ∠LCH =a/2

CL = AL = BL =z/2

треугольник BCL равнобедренный

∠B =∠BCL⟺ 90-a=a/2⟺a = 60

∠A = 60 ,∠B = 30 ,∠C = 90

∠ACK =∠KCH =45 -a/2 = 15 ,∠BCL=∠LCH=a/2=30

AB = z = 2y,CL =AL =BL =z/2=y

∠KCB =∠KCH+∠BCL+∠LCH = 15 +30+30=75

∠BKC = 90 -∠KCH = 90 -15=75

Таким образом, треугольник CBK является равнобедренным BK =BC =x

AK=AB-BK = 2y-x

Треугольник BCH прямоугольный причём ∠B=30 cледовательно ∠BHC=90

BH=BC/2=a/2

Поэтому 2CH - AK = a - AK = x-(2x -y) = 2(x -y)

Заметим AB+KL = AL+BK

2x+KL=y+x

KL=x-y

2CH-AK/KL=2(x-y)/(x-y)=2

Допустим что $\angle ACK=\angle KCH = x$ и $AC=2a$

Следовательно $\angle BAC = 90-2x (\triangle ACH)$

Так как $\triangle BCL$ равнобедренный по свойству медианы в прямоугольном треугольнике и $\angle HCL=\angle BCL = 45-x$ то $\angle CBL = 45-x$

Рассмотрим $\triangle ABC$:

$$90-2x+45-x+90=180 \Rightarrow 135 - 3x =90 \Rightarrow x=15 \Rightarrow \angle BAC = 60; \angle CBA = 30; \angle CKB =75$$

Рассмотрим $\triangle ACL$:

$$\angle BAC= \angle ACL=60 \Rightarrow \triangle ACL равносторонний \Rightarrow AC=CL=AL=LB=2a$$

Так как СH , биссектриса в равностороннем треугольнике это еще и медиана и высота значит $AH=HL=a$ Также $СH=a(KL) \cdot \sqrt{3} \Rightarrow CH=a\sqrt{3}(\triangle CKL)\Rightarrow BC=a\sqrt{3}(CH)\cdot 2 \Rightarrow BC=2a\sqrt{3}(\triangle BHC)$

$\triangle BCK$ равнобедренный т.к. $\angle BCK=\angle CKB=75$ Значит что $2a\sqrt{3}(BC)=BK \Rightarrow AK= 4a-2a\sqrt{3}; KL=2a\sqrt{3}-2a$

Подставим:

$$\dfrac{2CH-AK}{KL}=\dfrac{2a\sqrt{3}-(4a-2a\sqrt{3})}{2a\sqrt{3}-2a}\Rightarrow \dfrac{4a\sqrt{3}-4a}{2a\sqrt{3}-2a}=2:1$$