Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 7 класс.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AB$ проведена медиана $CD$. Прямая, прходящая через точку $D$ перпендикулярно медиане $CD$, пересекает прямые $AC$ и $BC$ соответственно в точках $P$ и $Q$. $M$ — середина отрезка $P$. Докажите, что $CM \perp AB$.

Комментарий/решение

∠CQP=90-∠DCQ=90-∠BCD=90-∠CBD=∠A

∠QCM=∠MQC=∠CQP =∠A

∠CTB =180-∠B -∠BCT=180-∠B-∠QCM=180-∠B -∠A =180-90=90

Это и означает что CM перпендикулярно AB