Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 7 класс.

Докажите, что для всех действительных чисел $x$ и $y$ справедливо неравенство $(x-y)^2+(xy+7)^2\ge 24.$

Комментарий/решение

$$(x-y)^2+(xy+7)^2 \geq 0$$ $$x^2-2xy+y^2+(xy)^2+14xy+49=(x^2+2xy+y^2)+((xy)^2+10xy+25)+24=(x+y)^2+(xy+5)^2+24,$$ учитывая что скобки точно неотрицательны, получим что $$(x+y)^2+(xy+5)^2\geq 24$$

$$(x-y)^2 + (xy+7)^2\geq 24$$

$$x^2-2xy+y^2+x^2y^2+14xy+49\geq 24$$

$$x^2+2xy+y^2+x^2y^2+10xy+25\geq 0$$

$$(x+y)^2+(xy+5)^2\geq 0$$

Скобки неотрицательны т.к. х и у действительны (то есть они не могут быть мнимыми)

Равенство достигается при $х = - \sqrt{5}$ и $y = \sqrt{5}$ или наоборот