Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.

В треугольнике $ABC$ проведена биссетриса $AD$. Прямая, проходящая через точку $D$ перпендикулярно $AD$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $F$. Оказалось, что $AD=CD$ и $\angle BAD + \angle DBF = 120^\circ$. Найдите отношение $DF : AC$.

Комментарий/решение

$\angle BAC=2\alpha, \angle DBF= \beta$ Используя теорему о внешном угле получаем $\angle FBD=\angle BAC+\angle ACB$

$\beta=3\alpha, \Rightarrow \alpha=30^\circ, \beta=90^\circ$ Теперь используем теорему пифагора и то что катет лежащий на против $30^\circ$ равен половине гипотенузы. $FD= x \Rightarrow FB=0.5x \Rightarrow AB=1.5x \Rightarrow AC=3x \Rightarrow AC=3x \Rightarrow DF : AC= 1 : 3$