Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 10 класс

Докажите, что для любого натурального $n$ справедливо неравенство $2\cdot3^n\leq 2^n+4^n$. Когда выполняется равенство?

Комментарий/решение

$ 2 \cdot 3^n \leqslant 2^n+4^n \tag{1}$

Проверим верно ли выражение $(1)$ при $n=1$:

$2 \cdot 3^1 \leqslant 2^1 + 4^1$

$6=6$.

Пусть выражение $(1)$ верно при $n=k$:

$ 2 \cdot 3^k \leqslant 2^k+4^k \tag{2}$

Проверим верно ли выражение $(1)$ при $n=k+1$:

$ 2 \cdot 3^{k+1} \leqslant 2^{k+1}+4^{k+1}$

$ 3 \cdot 2 \cdot 3^k \leqslant 2 \cdot 2^k+4 \cdot 4^k$

Используя выражение $(2)$, получим:

$ 3(2^k+4^k) \leqslant 2 \cdot 2^k+4 \cdot 4^k$

$ 3 \cdot 2^k+3 \cdot 4^k \leqslant 2 \cdot 2^k+4 \cdot 4^k$

$2^k \leqslant 4^k$

Значит, выражение $(1)$ верно для всех натуральных $n$.

В выражении $(1)$ равенство выполняется при $n=1$.

Пусть $n>1$, тогда получим:

$2 \cdot 3^n = 2^n + 4^n$

$3^n = 2^{n-1}+2 \cdot 4^{n-1}$

Левая часть уравнения нечетная, а правая часть - четная, значит решений нет при $n>1$.