Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 10 класс
Докажите, что для любого натурального n справедливо неравенство
2⋅3n≤2n+4n. Когда выполняется равенство?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
2⋅3n⩽
Проверим верно ли выражение (1) при n=1:
2 \cdot 3^1 \leqslant 2^1 + 4^1
6=6.
Пусть выражение (1) верно при n=k:
2 \cdot 3^k \leqslant 2^k+4^k \tag{2}
Проверим верно ли выражение (1) при n=k+1:
2 \cdot 3^{k+1} \leqslant 2^{k+1}+4^{k+1}
3 \cdot 2 \cdot 3^k \leqslant 2 \cdot 2^k+4 \cdot 4^k
Используя выражение (2), получим:
3(2^k+4^k) \leqslant 2 \cdot 2^k+4 \cdot 4^k
3 \cdot 2^k+3 \cdot 4^k \leqslant 2 \cdot 2^k+4 \cdot 4^k
2^k \leqslant 4^k
Значит, выражение (1) верно для всех натуральных n.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.