Processing math: 7%

Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 10 класс


Докажите, что для любого натурального n справедливо неравенство 23n2n+4n. Когда выполняется равенство?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
9 года назад #

23n

Проверим верно ли выражение (1) при n=1:

2 \cdot 3^1 \leqslant 2^1 + 4^1

6=6.

Пусть выражение (1) верно при n=k:

2 \cdot 3^k \leqslant 2^k+4^k \tag{2}

Проверим верно ли выражение (1) при n=k+1:

2 \cdot 3^{k+1} \leqslant 2^{k+1}+4^{k+1}

3 \cdot 2 \cdot 3^k \leqslant 2 \cdot 2^k+4 \cdot 4^k

Используя выражение (2), получим:

3(2^k+4^k) \leqslant 2 \cdot 2^k+4 \cdot 4^k

3 \cdot 2^k+3 \cdot 4^k \leqslant 2 \cdot 2^k+4 \cdot 4^k

2^k \leqslant 4^k

Значит, выражение (1) верно для всех натуральных n.

  0
9 года назад #

В выражении (1) равенство выполняется при n=1.

Пусть n>1, тогда получим:

2 \cdot 3^n = 2^n + 4^n

3^n = 2^{n-1}+2 \cdot 4^{n-1}

Левая часть уравнения нечетная, а правая часть - четная, значит решений нет при n>1.