8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

$AB:AD=1:2$ болатындай $ABCD$ тіктөртбұрышы берілген. $M$ және $N$, сәйкесінше, $AD$ және $BC$ қабырғаларының орталары. $BAN$ бұрышының ішінен $K$ нүктесі алынған, мұнда $AK=BM$ және ${BK \perp BM}$. $AK$ және $BC$ түзуі $P$ нүктесінде, ал $PD$ және $MN$ түзулері $Q$ нүктесінде қиылысады. $\angle AQP=60^\circ$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$KE\bot AN;$ $E=KE\cup AN\Longrightarrow KE=BF=\dfrac{BM}{2}=\dfrac{AK}{2}\Longrightarrow \angle KAE=30\Longrightarrow \angle PAB=15$ $\angle P'DA=30;$ $DP'\cup BC=P'\Longrightarrow DP'=2DC=2AB=AD\Longrightarrow \angle AP'D=\angle PA'D=75\longrightarrow \angle PAB=\angle P'AB=15\Longrightarrow P=P'\Longrightarrow \angle AQP=180-\angle DQA=180-2\angle DQM=180-(180-2\angle PDA)=60^\circ$