8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

$a_1, a_2, \ldots, a_{11}$ сандары 1, 2, $\ldots$, 11 сандарының қандай да орын ауыстырылуы болсын. $$A=(1+a_1)\cdot(2+a_2)\cdots(11+a_{11})$$ деп белгілейік. $A$ саны әрқашан
   а) 2-ге бөлінеді ме?
   б) 4-ке бөлінеді ме?

Комментарий/решение

а)Предположим противное. Тогда $2k+1+a_{2k+1}\equiv 1\pmod{2}\Rightarrow a_{2k+1}=2n$ но $k=0;1;...;5$ а $n=1;2;...5$ значить есть такой $k_1$ что $2_{2k_1+1}=2n+1$

б)Нет. Пример:$(1+2)(2+1)...(9+10)(10+9)(11+11)\equiv 3\cdot 3...\cdot 3\cdot 2 \equiv 2 \pmod{4}$

А) ДА

Б) НЕТ, кроме отдельных случиев.

А) Признак делимости на 2, является четность числа. Если у нас последовательность чисел от 1 до 11. То это значит, если даже одно число в произведение будет четным, значит и само итоговое число будет четным.

Чет+чет=чет

Нечет+нечет=чет

Чет+нечет=нечет

Если брать в противном случие, то будут скобки 2+1, 1+2, 4+3, 3+4, 6+5, 5+6, 8+7, 7+8, 10+9, 9+10, (11+11)

Так как у нас 5 чет и 6 нечет, плюс числа а, так что одна скобка выйдет четной.

А б) мне лень объяснять