Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2014 год. Турция

$ABC$ үшбұрышының $AB$ және $AC$ қабырғаларында $DB = BC = CE$ болатындай, сәйкесінше, $D$ және $E$ нүктелері белгіленген. $CD$ және $BE$ түзулері $F$ нүктесінде қиылысады. $I$ — $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі, $H$ — $DEF$ үшбұрышының ортоцентрі, ал $M$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $BAC$ доғасының ортасы. $I$, $H$, $M$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Очевидно, что $F$ является ортоцентром треугольника $BIC$. Пусть точки $P$ и $Q$ - середины $BD$ и $CE$ соответственно.

Несложно понять, что прямые $HI$ и $PQ$ перпендикулярны, так как $HI$ является радикальной осью окружностей, построенных на $BD$ и $CE$, как на диаметрах. Учитывая, что радиусы данных окружностей равны (они равны $\frac{1}{2}BC$), верно что, $HI$ - серединный перпендикуляр к отрезку $PQ$. Так как $M$ - середина дуги $BAC$, то $MB=MC$. Также верно, что $BP=CQ$ и $\angle PBM=\angle ABM=\angle MCA=\angle MCQ$. Таким образом, заключаем что, треугольники $MPB$ и $MQC$ равны, то есть $MP=MQ$, значит $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $PQ$, значит точки $I,H$ и $M$ действительно лежат на одной прямой.