Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып

$n!$ саны ${{n}^{2}}+1$ санына қалдықсыз бөлінетіндей шексіз көп $n$ натурал сандары табылатынын дәлелде.

Комментарий/решение

Если $n=2m^2$

$n^2+1=4m^4+1=(2m^2+1)^2-(2m)^2$

Продолжу решения. Если $m=5k+1$: $n^2+1=(2m^2-2m-1)(2m^2+2m+1)$, так как$2m^2-2m+1<2m^2$ оно делится на $n!$, $2m^2+2m+1$ делится на 5, и $(2m^2+2m+1):5<2m^2$.