Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2025 год

Келесі жүйені нақты сандар жиынында шешіңіз: $$\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{a}=b^{2025}+c^{2025},\\ 2\sqrt{b}=a^{2025}+c^{2025},\\ 2\sqrt{c}=a^{2025}+b^{2025}. \end{matrix}\right. $$

Комментарий/решение

Б.О.О $a \ge b \ge c \ge 0$. Отнимем от первого уравнение второе. Получим что $2(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = b^{2025} - a^{2025}$. Очевидно что правая часть не меньше нуля, а вторая не больше. Значит равенство только при равенстве 0 обоих частей, откуда $a = b$. Аналогично доказываем $a = b = c$. Подставим это в любое уравнение и легко получаем ответ: $(0,0,0)$ , $(1,1,1)$

Отнимем от 1-го 2-ое.

(2√а)-(2√b)=b²⁰²⁵-a²⁰²⁵

2(√a-√b)=(b-a)(b²⁰²⁴+...+...+a²⁰²⁴)

Если а>b,то не имеет смысла ведь левая сторона больше 0,а вторая меньше.Аналогично если а<b то левая сторона меньше 0,а вторая больше,тогда а=b. Также а=с

2√а=2а²⁰²⁵ √а=а²⁰²⁵

Отсюда следует что а=0 или а=1 тогда первое решение:0=а=b=c

Второе:1=а=b=c