Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2025 год

Точки $A,B,C,D$ на плоскости таковы, что $DA=DB=DC$, $\angle BAC=35^\circ$, $\angle ABC=20^\circ$. Докажите, что точки $A,B,C,D$ являются вершинами трапеции.

Комментарий/решение

D лежит вне треугольника ABC, так как А,В,С лежат на окружности с центром в D, а угол АСВ = 180° - 35° - 20° = 125° - тупой угол. Пусть углы BAD и ABD будут равны х. Тогда угол ACD равен 35° + х а угол BCD равен 20° + х. Тогда 55° + 2х = 125° => х = 35°, откуда BD || AC, но очевидно что AD не параллельна BC.

$125=\angle DCA+\angle DCB=\angle DAC+\angle DBC=2\angle DBA+55\Rightarrow \angle DBA=\angle BAC=35\Rightarrow DB\parallel AC$