Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2025 год

Для попарно различных действительных чисел $a,b,c$ выполнены равенства: $a^{2}(b+c)=b^{2}(a+c)=2025.$ Чему может равняться значение выражения $c^{2}(a+b)$? ( Уалихан А. )

Комментарий/решение

Ответ: 2025

Раскрыв скобки получим $a^2 b + a^2 c = b^2 a + b^2 c$;

$ab(a-b) + c(a-b)(a+b) = 0$:

$(a-b)(ab + ca + cb) = 0$. По условию числа различны, поэтому $a - b \neq 0$, тогда $ab + ca + cb = 0$, $c(a+b) = -ab$, $c^2(a+b) = -abc$. Аналогично $b(a+c) = -ac$, $b^2(a+c) = -abc = 2025$, $c^2(a+b) = 2025$.