Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2025 год

Сумма десяти натуральных чисел равна 2025. Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель всех этих десяти чисел?

Комментарий/решение

Пусть их наибольший общий делитель d.Пусть эти 10 чисел это $a_1,....,a_{10}$ и $\frac{a_{i}}{d}=b_{i}%$.Пусть $\sum \limits_{i=1}^{10}{b_i}=k$.Тогда kd=2025,$k\geq 10$ иначе бы что то из 10 чисел был бы$\leq 0$ тогда был бы не натуральным противоречие. Ещё заметим что 2025 делится на k иначе бы d был бы не натуральным. Очевидно что чем меньше k тем больше d,пуиём подбора под известные факты находим что минимальный k=15,тогда максимальный d=135.Пример:135,135,135,...,135,810.