Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып

Теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышында $(AB=BC)$ $D$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы, $E$ нүктесі — $D$ нүктесінің $BC$ қабырғасына проекциясы, $F$ нүктесі — $DE$ қабырғасының ортасы. $BF$ және $AE$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелде.

Комментарий/решение

$Z = BF \cap AE$ , проведем высоту из вершины $A$ на сторону $BC$ , положим что основание высоты $H$ , треугольники $\Delta BDE , \Delta AHC$ подобны , получим $\dfrac{HC}{AH}=\dfrac{DE}{BE}$(1). Заметим что $DE=\dfrac{AH}{2}$ как средняя линия , откуда (1) запишется как $\dfrac{HE}{AH} = \dfrac{EF}{BE}$ или что тоже самое $tg \angle HAE = tg \angle EBF$ , значит точки $A,Z,B,H$ лежат на одной окружности , откуда $\angle AZB = \angle AHB = 90^\circ$.