Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур заключительного этапа

Шеңбер бойында әрқайсысы нөлге тең емес 2025 сан жазылған. Қандай болмасын, кез келген бес қатар тұрған $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ сандардын алсақ, олар үшін $ab+de=bd$ теңдігі орындалуы мүмкін бе? ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Прибавив к обеим частям равенства из условия $ae$,

перепишем его в виде

$$ae = (b - e)(d - a)$$

и перемножим все такие равенства. Слева получим

положительное число — произведение квадратов всех чисел, а справа — отрицательное:

каждая разность двух чисел, идущих через 2, встретится дважды с разными знаками, а

таких пар $2025$.

В данном случае числа не в таком плане подряд идущие

$a_1a_2+a_4a_5=a_2a_4;$ $a_2a_3+a_5a_6=a_3a_5 \longrightarrow (a_1a_2+a_4a_5)(a_2a_3+a_5a_6)=a_2a_3a_4a_5 \Longleftrightarrow a_1a_2^2a_3+a_1a_2a_5a_6+a_4a_5^2a_6=0=a_1a_2(a_2a_3+a_5a_6)+a_4a_5^2a_6=a_1a_)a_5(a_1a_2a_3+a_4a_5a_6)=0 \longrightarrow a_1a_2a_3=-a_4a_5a_6=a_7a_8a_9=...=a_{2023}a_{2024}a_{2025}$

$a_{2023}a_{2024}+a_1a_2=a_{2024}a_1;$ $a_{2024}a_{2025}+a_2a_3=a_{2025}a_2 \Longrightarrow (a_{2023}a_{2024}+a_1a_2)(a_{2024}a_{2025}+a_2a_3)=a_{2024}a_{2025}a_1a_2 \Longleftrightarrow a_{2023}a_{2024}(a_{2024}a_{2025}+a_2a_3)+a_1a_2^2a_3=a_2(a_{2023}a_{2024}a_{2025}+a_1a_2a_3)=0 \longrightarrow a_1a_2a_3=-a_{2023}a_{2024}a_{2025}=a_{2023}a_{2024}a_{2025} \rightarrow \varnothing$