Областная олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

В треугольнике $ABC$ $AB>AC$. Пусть $P$ и $Q$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $B$ и $C$ на биссектрису угла $\angle BAC$, соответственно. $D$ – точка на прямой $BC$ такая, что $DA\perp AP$. Докажите, что прямые $BQ$, $PC$ и $AD$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Положим что они пресекаются в точке $X$ , $AD||CQ||PB$, так как $\angle CAP = \angle BAP$ значит $\Delta ACQ$ подобен $APB$, откуда $\dfrac{CQ}{PB} = \dfrac{QA}{AP}$. Так же $\Delta XAQ$ подобен $\Delta PBQ$ откуда $\dfrac{XA}{PB}=\dfrac{QA}{PQ}$ осталось доказать то что $CQ \cdot AP=XA \cdot PQ$ выражая через площади получим эквивалентное тождество $S_{ACX} = S_{XQA}$ что действительное верно, так как $AQ = CX \cdot sin \angle PXA$.