Областная олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс

$100\times 100$ өлшемді ұяшықты тақтада $A$ және $B$ ойыншылары ойын ойнауда. Әр ойыншыда бір дойбыдан бар. Ойынның басында $A$-ның дойбысы төменгі сол бұрыштағы ұяшықта, ал $B$-ның дойбысы төменгі оң жақ бұрыштағы ұяшықта тұр. Ойыншылар кезектесіп жүреді, ойынды $A$ ойыншысы бастайды. Бір жүрісте әр ойыншы өз дойбысын сол дойбы тұрған ұяшықтан, оған қабырға бойынша көрші ұяшыққа жылжыта алады. $B$-ның ойынына қарамастан, $A$ ойыншысы шекті жүріс санында оның дойбысы $B$-ның дойбысы тұрған ұяшықта болатындай етіп жүре алатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Прономеруем столбы от a_{1} до а_{100}, строки она логично с б_{1} до б_{100}. Стратегия выигрыша(выигрыш тот случай когда А становиться на клетку В):Если фишка А стоит на бn строке(n натуральное число от 1 до 100), а фишка В на строке б_{n-1} или б_{n} или б_{n+1} то мы движемся в сторону фишки В(то есть на лево или на право)

А если фишка А стоит на строке бn, и фишка В стоит на строке б_{n-2} или б_{n+2} то мы двигаем фишка на вверх или вниз (смотря где фишка В). Стоит отметить что каждый раз когда фишка B будет упираться в один из сторон, фишка А будет приближаться. И проделывая эти операции мы доберемся до фишки В так как будут моменты когда фишка В будет упираться к одной из сторон доски. И будет момент когда фишка А стоит на клетке а_{99} б_{2} а фишка B стоит на клетке а_{100} б_{1} или момент когда фишка А стоит на а_{99} б_{99} и фишка В стоит на а_{100}. б_{100}, и в обеих этих случаях на следующем ходу игрок А выиграет.

$A$ ойыншысы әрдайым $B$ ойыншысынан бір саты төмен немесе жоғары жүрсе, және тақта шексіз болмағандыктан $В$ ойыншысы тақтанын шетіне тақалады. Дәл сол уақытта $A$ ойыншысында

жакындауға мүмкіндік бар.

$A$ ойыншысынын стратегиясы: Ол бірінші $B$ ойыншысына

жақындайды. $В$ ойыншысы ұтылмау үшін әйтеуір бір уақытта үстіге көтерілуі қажет. Сол укытта $A$ ойыншысыда үстіге көтеріледі. Бізде тақта шексіз болмағандыктан $B$ ойыншысы әйтеуір бір уақытта төмен түсіге мәжбүр. Сол уақытта $A$

ойыншысы жақындайды. Осы стратегиясы арқылы $В$

ойыншысын $2 \times2$ жақшасына кіреді. Әрі қарай шешу оҢай.