Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{[x,y]}+\dfrac{1}{(x,y)}=\dfrac{1}{2}$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $(x,y)$ натурал сандардың парларын анықта; мұнда $(x,y)$ — $x$ және $y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші, ал $[x,y]$ — осы сандардың ең кіші ортақ еселігі.

Комментарий/решение

Подсказка: пусть $(x,y)=k$, тогда найдутся натуральные числа $l,m$ такие что: $x=kl$,$y=km$ и $[x,y]=klm$ (так как $(m,l)=1$). Тогда данное уравнение эквивалентна:

$2lm+2m+2l+2=klm$