XIX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2024 год

$n>1$ — бүтін сан болсын. Қонақ үйде $1,2,\dots,n$ сандарымен нөмірленген $n$ номер бар, және әр $i=1,2,\dots,n$ үшін нөмірі $i$-ге тең номерде $i$ бөлме бар. Әр апта сайын қонақ үйге $n$ жанұядан құралған топ жайғасады. Жайғасар алдында әр жанұя алдын ала номерде кемінде неше бөлме болу керектігін айтып қояды. Әр жаңа топтың жайғасуы алдында, оған дейінгі топ шығып кеткен кезде, портье әр жанұя үшін, сол жанұяның талабы орындалатындай етіп, бір номерден берудің жалпы $A$ әдіс санын есептеп, $A$ санын өзінің кітапшасына жазып қояды. Осы кітапшада ең көп дегенде $2^{n-1}$ түрлі натурал сан жазылғанын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )