7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

В строку последовательно выписывают 101 чисел по следующему правилу: первое число равно 1, а каждое следующее, начиная со второго, или на 2 меньше предыдущего числа, или в 3 раза больше предыдущего числа. Могло ли оказаться так, что сумма всех 101 чисел равна
   а) 2024;
   б) 2023?

Комментарий/решение

а)Ответ: Не могло.

Допустим у нас есть нечетное число n значить 3n и n-2 будут нечетным. Так как первое число нечетное то остальные будут нечетным. А сумма 101 нечетных чисел будут нечетным.

б)Ответ: Не могло.

Мы знаем что все числа нечетные. Допустим у нас есть число n то следующий число будет 3n или n-2. n+3n=4n=0(mod 4) и n+n-2=2(n-1)=0(mod 4) так как n нечетное а n-1 четное. Временно уберем первое число. Тогда сумма все оставшиеся делится на 4 значить. Значить сумма этих 101 чисел дают остаток 1 по mod 4. А 2023=3(mod 4)