Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2021 год

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнены равенства $BC=AD$, $\angle BCD=90^\circ$, $AB=AC$. Найдите всевозможные значения $\angle ADC$.

Комментарий/решение

Используем теорему синусов в треугольнике АВС и также в АDC. Но для начала пусть BC=AD=b, AB=AC=a. Треугольник АВС: b/sin(2a)=a/sin(a). Так как AB=AC => углы ABC=ACB=a, выйдет что угол BAC=180-2a. sin(180-2a)=sin(2a). Поэтому b/a=sin(2a)/sin(a). Теперь треугольник ADC:пусть искомый угол будет x. Выходит b/sin(90-a)=a/sin(x). Так как угол BCD=90, а угол ACB=a => угол ACD=90-a. Оба равны b/a, приравняем вторые части: sin(2a)/sin(a)=sin(90-a)/sin(x)=> sin(x)=sin(a)*cos(a)/sin(2a). Так как sin(90-a)=cos(a) по формуле приведения. Также по формуле приведения sin(a)*cos(a)=1/2*sin(2a). Поэтому sin(x)=1/2. Но очевидно х<180, поэтому все значения удовлетворяющие равенству это при х=30 м при х=150. Ответ:30, 150