Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2021 год

Решите уравнение в простых числах: ${{p}^{3}}+{{q}^{3}}+1={{p}^{2}}{{q}^{2}}$.

Комментарий/решение

p^3+q^3=p^2q^2-1; (p+q)*(p^2+q^2-pq)=(pq-1)(pq+1). Предположим что и p и q - нечетные. Тогда левая скобка даст остаток 2 от деления на 4, так как p+q- сумма нечестных чисел, значит дает остаток 2 от 4, а в свою очередь p^2+q^2-pq-нечетное число, так как нечет+нечет-нечет=нечет. А справа у нас (нечет*нечет-1)*(нечет*нечет+1)=чет*чет=> нецело делится на 4. Остатки не совпадают, что значит, что хотя бы одно из них четное, то есть 2. Пусть q=2: тогда 9+р^3=4р^2; р^3 -4р^2+9=0; р^3-3р^2-р^2+9=0; р^2(р-3) -(р-3)(р+3)=0; (р-3)(р^2-р-3)=0; тогда или р-3=0 или р^2-р-3=0; Получаем р=3, а второе не имеет натуральных Корней, так как дискриминант равен 13. Получаем (3,2). Очевидно что если бы мы предположили р=2, то q=3. Поэтому только 2 ответа( 3,2) и (2,3)