Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2023 год
Дано действительное число c>0 и пусть R>0 — множество всех действительных положительных чисел. Найдите все функции f:R>0→R>0 такие, что f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx для всех x,y∈R>0.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть P(x,y)− обозначает нашу функцию
Утверждение 1: f(x)≥2x
Доказательство:
Допустим ∃y для которого выполняется f(y)<2y
P(2y−f(y)c,y)⇒f(2y+2y−f(y)c)=f(2y−f(y)c+2y)+2cx⇒2cx=0→∅
g(x)=f(x)−2x,g:R>0→R≥0
Тогда изначальное утверждение превращается в:
g((c+1)x+g(y)+2y)+2g(y)=g(x+2y)
∀x>2y выполняется g(x)≥2g(y)
4g(y)≤g((c+1)x+g(y)+2y)+2g(y)=g(x+2y)
∀x>2y выполняется g(x)≥4g(y)
6g(y)≤g((c+1)x+g(y)+2y)+2g(y)=g(x+2y)
Аналогично продолжая получим:
∀k∈Z>02k×g(y)≤g(x+2y)⇒g≡0
Ответ: f(x)=2x
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.