Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2023 год


Дано действительное число c>0 и пусть R>0 — множество всех действительных положительных чисел. Найдите все функции f:R>0R>0 такие, что f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx для всех x,yR>0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
9 месяца 22 дней назад #

Пусть P(x,y) обозначает нашу функцию

Утверждение 1: f(x)2x

Доказательство:

Допустим y для которого выполняется f(y)<2y

P(2yf(y)c,y)f(2y+2yf(y)c)=f(2yf(y)c+2y)+2cx2cx=0

g(x)=f(x)2x,g:R>0R0

Тогда изначальное утверждение превращается в:

g((c+1)x+g(y)+2y)+2g(y)=g(x+2y)

x>2y выполняется g(x)2g(y)

4g(y)g((c+1)x+g(y)+2y)+2g(y)=g(x+2y)

x>2y выполняется g(x)4g(y)

6g(y)g((c+1)x+g(y)+2y)+2g(y)=g(x+2y)

Аналогично продолжая получим:

kZ>02k×g(y)g(x+2y)g0

Ответ: f(x)=2x