Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2023 год

Дано действительное число $c > 0$ и пусть $\mathbb{R}_{>0}$ — множество всех действительных положительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ такие, что $$f((c + 1)x + f(y)) = f(x + 2y) + 2cx$$ для всех $x, y \in \mathbb{R}_{>0}$.

Комментарий/решение

Пусть $\: P(x,y) \: - \:$ обозначает нашу функцию

\[ \]

Утверждение 1: $\: f(x) \geq 2x$

Доказательство:

Допустим $\: \exists \: y \:$ для которого выполняется $ \: f(y) < 2y$

\[ \]

$P \left ( \dfrac{2y - f(y)}{c}, y \right ) \Rightarrow f \left ( 2y + \dfrac{2y - f(y)}{c} \right ) = f \left ( \dfrac{2y - f(y)}{c} + 2y \right ) + 2cx \Rightarrow 2cx = 0 \rightarrow \varnothing$

\[ \]

$g(x) = f(x) - 2x, \: \: g:\mathbb{R}_{> 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}\: \:$

Тогда изначальное утверждение превращается в:

\[ g((c+1)x+g(y)+2y)+2g(y)=g(x+2y) \]

\[ \]

$\forall x > 2y \: \:$ выполняется $\: \: g(x) \geq 2g(y)$

\[ 4g(y) \leq g((c+1)x+g(y)+2y) + 2g(y) = g(x+2y) \]

$\forall x > 2y \: \:$ выполняется $\: \: g(x) \geq 4g(y)$

\[ 6g(y) \leq g((c+1)x+g(y)+2y) + 2g(y) = g(x+2y) \]

Аналогично продолжая получим:

$\forall k \in \mathbb{Z}_{>0} \: \: 2k\times g(y) \leq g(x+2y) \Rightarrow g \equiv 0$

\[ \]

Ответ: $\: \: f(x)=2x$