Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур заключительного этапа

Тек $O$ нүктесінде жалғанған жанатын жүз $OA_1$, $\ldots$, $OA_{100}$ жіптерінен құралған жұлдыз берілген. Әр жіптің жану уақыты оның қай ұшынан жандырылғанына байланысты емес әрі жіптің жану жылдамдығы тұрақты болу міндетті емес. Егер жұлдызды $A_1$ нүктесінде жадырса ол толығымен 201 секундта, $A_2$ нүктесінде жандырса —202 секундта, $\ldots$, $A_{99}$ нүктесінде жандырса —299 секундта жанады. Егер жұлдызды $A_{100}$ нүктесінде жандырса, ол неше уақытта толығымен жанып бітеді? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Пускай $OA_i, OA_j$-шнуры горящие дольше всех. То очевидно, что если вначале зажечь , точку $A_i$, то звезда сгорит после того, как сгорит $A_j$ и наоборот тоже. Давайте докажем, что $A_i,$ либо $A_j$ это точка $A_{100}$. Пусть это не так. То очевидно, суммы эти равны. Но из сумм выше сказанных нет равных. Противоречие, то какая-та точка это $А_{100}$. Ну очевидно должна быть достигнута максимальная сумма. Это 299.

Почему 2 отрезка горят одинаковое время?

обозначим время сгорания всей звезды $T_i$ , если начали с шнура $A_i$ , а если начали с $A_j$ , то время обозначим как $T_j$ .

$T_i$=$A_iO$+$OA_j$

$T_j$=$A_jO$+$OA_i$

(сперва горит шнур до соединения всех точек, потом ждет, пока не сгорит шнур, горящий дольше всех)

как видно, $T_j$=$T_i$

поэтому они горят одинаковое время

Понял, спасибо!