10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, вторая лига, 9-10 классы
Комментарий/решение:
Легко понять что треугольник △SAP=△QHC. Известный факт что радиус окружностей (ABC) и (BHC) равны. Откуда выходит что ∠ACP=∠QCH. Из
∠PSQ=∠ASH=∠ACH=∠PCQ=∠PBQ=∠ABH
Выходит что четырехугольники ASBH и SPQB вписанные. Если N=AB∩SH, тогда легко заметить что точки N,R лежат на радикальной оси (SHQ) и (ABC). И из равенства радиусов их окружностей легко заметить что T лежит на ней. Откуда следует требуемое.
Пояснительное решение:
Если взять пересечение (BHC)∩PerpendicularbisectorofAB=Q тогда не сложным счетом углов понятно что APQH параллелограм. По теореме дезарга для HQC и ASP понятно что SP||HC и по теореме дезарга для ASH и QPC понимаем что SH||PC. Отсюда SHCP параллеограм.
Заметим что ∠PQC=90−∠BAC=∠HCA=>>∠HCQ=∠PCA=∠PSA
Также заметим что
∠PSQ=∠PSA+∠ASQ=∠ASQ+∠PCA=∠PCQ=∠PBQ отсюда (PQBS).
Также
∠ASH=∠QCP=∠HBA отсюда (AHBS).
Теперь заметим что
RP∗RB=RS∗RQ и SN∗NH=AN∗NB отсюда N,R лежат на рад оси (SHQ) и (ABC) и по равенству треугольников эти окружности симметричны относительно T значит он тоже лежит на рад оси.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.