Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, вторая лига, 9-10 классы


P нүктесі ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің BAC доғасының ортасы. H нүктесі — ABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі. Q және S нүктелері HAPQ және SACQ параллелограмдар болатындай нүктелер. T нүктесі AQ-дің ортасы, ал R нүктесі —SQ және PB түзулерінің қиылысу нүктесі. AB, SH және TR түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  7
5 месяца 15 дней назад #

Short solution: Рассмотрим равнобокую гиперболу которая проходит через ABCHP. Понятно T это его центр. Откуда легко понять что точки Q,S лежат на ней. Тогда из Теоремы Паскаля для шестиугольника APSBQH получаем требуемое.

  6
5 месяца 15 дней назад #

Легко понять что треугольник SAP=QHC. Известный факт что радиус окружностей (ABC) и (BHC) равны. Откуда выходит что ACP=QCH. Из

PSQ=ASH=ACH=PCQ=PBQ=ABH

Выходит что четырехугольники ASBH и SPQB вписанные. Если N=ABSH, тогда легко заметить что точки N,R лежат на радикальной оси (SHQ) и (ABC). И из равенства радиусов их окружностей легко заметить что T лежит на ней. Откуда следует требуемое.

  1
5 месяца 13 дней назад #

Пояснительное решение:

Если взять пересечение (BHC)PerpendicularbisectorofAB=Q тогда не сложным счетом углов понятно что APQH параллелограм. По теореме дезарга для HQC и ASP понятно что SP||HC и по теореме дезарга для ASH и QPC понимаем что SH||PC. Отсюда SHCP параллеограм.

Заметим что PQC=90BAC=HCA=>>HCQ=PCA=PSA

Также заметим что

PSQ=PSA+ASQ=ASQ+PCA=PCQ=PBQ отсюда (PQBS).

Также

ASH=QCP=HBA отсюда (AHBS).

Теперь заметим что

RPRB=RSRQ и SNNH=ANNB отсюда N,R лежат на рад оси (SHQ) и (ABC) и по равенству треугольников эти окружности симметричны относительно T значит он тоже лежит на рад оси.