Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, вторая лига, 9-10 классы


ω шеңбері B=3C болатын ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер. A бұрышының ішкі биссектрисасы ω-ны және BC-ны, сәйкесінше, M және D нүктелерінде қияды. ME кесіндісі ω-ның радиусына тең болатындай етіп E нүктесі CM түзуінде M-нен ары созындысынан (яғни M нүкесі C мен E арасында) алынған. ACE және BDM үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер өзара жанасатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
1 года 3 месяца назад #

Введем пару обозначений:

O центр описанной ABC;  O1 центр окружности Γ1 описанной вокруг CMD;  O2 центр Γ2 описанной вокруг AME

JACΓ2;  POMΓ1; NABPM; LBCNP

B=α,C=3α,A2=902α

Утверждение 1: BNCP ромб

Доказательство: MDC=MPC=90+α; NPC=BNP=90α    PLCNLB  также  BL=LC  и  BN=NC   

Утверждение 2: AOME вписанный

Доказательство: BMN=180(MNB+MBN)=2α; AOM=1802α  значит  MEO=OAM   

AEB=AJB=2α=CJP

Утверждение 3: J  принадлежит  Γ1

Доказвтельство: BCP=α=OMADPC=DCP=αPDC=1802α    

Осталось доказать что: J,O1,O2  на одной прямой

O1JP=1802PCJ; O2JB=1802BAJ  нужно доказать  BAJ=PCJ  что верно из  ABPC

пред. Правка 2   0
1 года 3 месяца назад #

O - центр ω.

Из условия следует существование точки P на AC такой, что PCB и ABP равнобедренные. Таким образом окружности (BDM) и (PDM) симметричны относительно AM. Из простого счета углов C принадлежит (PDM) и из не менее простого счета углов AOME вписанный. Симметрия относительно AM сохраняет (ACE): пусть E - симметричная E относительно AM точка, тогда счетом углов E лежит на (ACE). Замечаем PM||AE и по лемме Фусса задача решена.