10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, вторая лига, 9-10 классы
Комментарий/решение:
Введем пару обозначений:
O− центр описанной △ABC; O1− центр окружности Γ1 описанной вокруг △CMD; O2− центр Γ2 описанной вокруг △AME
J−AC∩Γ2; P−OM∩Γ1; N−AB∩PM; L−BC∩NP
∠B=α∘,∠C=3α∘,∠A2=90−2α∘
Утверждение 1: BNCP− ромб
Доказательство: ∠MDC=∠MPC=90+α∘; ∠NPC=∠BNP=90−α∘ △PLC∼△NLB также BL=LC и BN=NC ◼
Утверждение 2: AOME− вписанный
Доказательство: ∠BMN=180−(∠MNB+∠MBN)=2α∘; ∠AOM=180−2α∘ значит ∠MEO=∠OAM ◼
∠AEB=∠AJB=2α∘=∠CJP
Утверждение 3: J− принадлежит Γ1
Доказвтельство: ∠BCP=α∘=∠OMA→∠DPC=∠DCP=α∘→∠PDC=180−2α∘ ◼
Осталось доказать что: J,O1,O2− на одной прямой
∠O1JP=180−2∠PCJ; ∠O2JB=180−2∠BAJ→ нужно доказать ∠BAJ=∠PCJ что верно из AB∥PC
O - центр ω.
Из условия следует существование точки P на AC такой, что △PCB и △ABP равнобедренные. Таким образом окружности (BDM) и (PDM) симметричны относительно AM. Из простого счета углов C принадлежит (PDM) и из не менее простого счета углов AOME вписанный. Симметрия относительно AM сохраняет (ACE): пусть E′ - симметричная E относительно AM точка, тогда счетом углов E′ лежит на (ACE). Замечаем PM||AE и по лемме Фусса задача решена.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.