Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур дистанционного этапа

Натурал санның соңғы екі цифрын өшіріп, пайда болған санға бастапқы санды қосқан. Пайда болған қосынды $101^{50}-1$ санына тең бола алады ма? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Допустим это возможно тогда возьмем Число Х как само число без двух последних чисел но прибавлении с двумя нолями в конце а число Y как его последние два числа тогда:

$Х+Y+\frac{X}{100}=101^{50}-1$

$100Х+100Y+X=101^{50}*100-100$

$101X+100Y=101^{50}-100$

Отсюда 100Y даёт 1 по моду 101 что не возможно тк 100-Y будет тоже давать 1 но Y хотябы 0 и небольше 99