Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур дистанционного этапа

5-тен үлкен натурал $n$ санының қандай мәндерінде өлшемі $n\times n$ болатын ұяшықты шаршыны, кесу кезінде бос ұяшық қалмайтындай етіп, екі ұяшықтан тұратын тіктөртбұрыштарға және бес ұяшықтан тұратын кресттерге бөліп шығуға болады? Кесу кезінде тіктөртбұрыш фигурасы да, крест фигурасы да болуы керек. Оң жақтағы суретте бес ұяшықтан тұратын крест көрсетілген. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Пример для 6 на 6 и доказываешь что n при четном только возможно

хорош, самое подробное, точное, понятное решение что я видел, вообще не придраться, где научился так расписывать?

Не спрашивали

Допустим для нечетных n возможно, тогда сделаем шахматная раскраску

Пусть в ней у нас будет n белых и n+1 чёрных клеток

Очевидно что прямоугольник 2×1 содержит 1 белую и 1 чёрную

А 2 наша фигура 4 одинаковых и 1 другого цвета

Тогда допустим такая расстановка существует

Для начала поставим все кресты а затем уже прямоугольники

Также заметим что когда мы начнём ставить прямоугольники 2×1 количество чёрных и белых клеток должно быть равно т.к в этих фигурка равное количество белых и чёрных клеток

Т.к у нас должен быть хотябы 1 крест у нас уже не будет равное кол чёрных и белых клеток

Очевидно можно Заметить что как бы мы кресты не ставили оставшиеся кол белых и чёрных клеток никогда не будет равно

Значит для нечетных n это не возможно

Теперь просто покажем расстановку для квадрата 6×6 просто ставим 2 креста рядом чтоб одна сторона клетки у них была общая и заполняем остальное пространство прямоугольникаит 2×1 ( очевидно что можно сделать)

Значит для 6 это верно Тогда для 8×8 сделаем такую же расстановку как и для 6×6 затем не заполненные клетки заполним прямоугольниками очевидно что можно

Значит для любого чёрного верно

Как вы докажите что как бы мы не ставили кресты никогда не будет равного количество белых и чёрных?

Ладно, понял