Районная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 9 класс

а) Существует ли натуральное число, дающее остаток 7 при делении на 12 и остаток 11 при делении на 42?
   б) Существует ли натуральное число, дающее остаток 7 при делении на 11 и остаток 11 при делении на 42?

Комментарий/решение

а) Допустим существует и это число n

то n=7(mod 12)

n=11(mod 42)

и возьмём n=12m+7=42k+11

12m+7=42k+11

12m-42k=4

сокращаем обе части на 2

выходит 6m-21k=2

заметим что с лево делится на 3 а с правно нет =>противоречие

б) Да например 95 который удовлетворяет условиям

б) Шешуі: $n_x=11x+7, \ n_y =42y + 11, \ 11x = 42y + 4$

1) Теңдеудің оң жағы 2-ге бөлінеді, ендеше $x = 2m$ болсын , $m \in \mathbb{N}$

$$22m = 42y + 4, \text{ яғни } 11m - 21y = 2. \ m > y \text{ әрі } m \text{ және } y \text{ жұп сандар делік және } m = 4d, \ y = 2d \text{ болсын, } d \in \mathbb{N}, \ \text{онда } x = 8d, \ \text{ал } n_x=11\cdot 8d + 7 = 88d + 7, \ n_y = 42\cdot 2d + 11 = 84d + 11$$

$$88d + 7 = 84d + 11, \ 4d = 4, \ d = 1 \ \text{болғанда } n_x = n_y = 95, \ \text{яғни 95 11-ге 7 және 42-ге 11 қалдықпен бөлінетін ең кіші натурал сан}$$

2) $11x – 42y = 4$ теңдеуінің бүтін шешімдерін табайық, ол үшін алдымен $11x_0-42y_0=1$ теңдеуінің бүтін шешімдерін анықтайық

$$42 = 11\cdot 4 - 2, \ 2= 11\cdot 4 – 2, \ 11 = 9\cdot 1 + 2, \ 9 = 2\cdot 4 + 1$$

$$1 = 9 - 2\cdot 4 = 11 – 2 – 4(11\cdot 4 – 42) = 11 – 11\cdot 4 + 42 -16\cdot 11 + 4\cdot 42 = 5\cdot 42 -19\cdot 11$$

$$11\cdot (-19) - 42\cdot (-5)$$

бұдан $x_0 = -19, \ y_0 = -5$, демек

$$4 = 11\cdot 9(-76) – 42 (- 20) , \ \text{яғни } 11x – 42y = 4 \ \text{теңдеуінің бүтін шешімдері}$$

$$x = 42t – 76 , \ y = 11t – 20, \ t = 1 \ \text{болғанда} \ x = -34, \ y = -9, \ \text{ендеше}$$

$$x = 42t – 34 , \ y = 11t – 9 , \ t \in \mathbb{Z}$$

3) $n_x = 11( 42t – 34 ) + 7 = 462t – 374 + 7 = 462t – 367 = 462(t – 1) +95= 462d + 95$

$$n_y = 42(11t – 9) + 11 = 462t – 378 + 11 = 462(t – 1)+95 = 462d + 95, \ d \in \mathbb{Z}$$

Жауабы: $462d + 95, \ d \in \mathbb{Z}$