Районная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 9 класс
б) Существует ли натуральное число, дающее остаток 7 при делении на 11 и остаток 11 при делении на 42?
Комментарий/решение:
а) Допустим существует и это число n
то n=7(mod 12)
n=11(mod 42)
и возьмём n=12m+7=42k+11
12m+7=42k+11
12m-42k=4
сокращаем обе части на 2
выходит 6m-21k=2
заметим что с лево делится на 3 а с правно нет =>противоречие
б) Да например 95 который удовлетворяет условиям
б) Шешуі: \(n_x=11x+7, \ n_y =42y + 11, \ 11x = 42y + 4\)
1) Теңдеудің оң жағы 2-ге бөлінеді, ендеше \(x = 2m\) болсын , \(m \in \mathbb{N}\)
\[22m = 42y + 4, \text{ яғни } 11m - 21y = 2. \ m > y \text{ әрі } m \text{ және } y \text{ жұп сандар делік және } m = 4d, \ y = 2d \text{ болсын, } d \in \mathbb{N}, \ \text{онда } x = 8d, \ \text{ал } n_x=11\cdot 8d + 7 = 88d + 7, \ n_y = 42\cdot 2d + 11 = 84d + 11\]
\[88d + 7 = 84d + 11, \ 4d = 4, \ d = 1 \ \text{болғанда } n_x = n_y = 95, \ \text{яғни 95 11-ге 7 және 42-ге 11 қалдықпен бөлінетін ең кіші натурал сан}\]
2) \(11x – 42y = 4\) теңдеуінің бүтін шешімдерін табайық, ол үшін алдымен \(11x_0-42y_0=1\) теңдеуінің бүтін шешімдерін анықтайық
\[42 = 11\cdot 4 - 2, \ 2= 11\cdot 4 – 2, \ 11 = 9\cdot 1 + 2, \ 9 = 2\cdot 4 + 1\]
\[1 = 9 - 2\cdot 4 = 11 – 2 – 4(11\cdot 4 – 42) = 11 – 11\cdot 4 + 42 -16\cdot 11 + 4\cdot 42 = 5\cdot 42 -19\cdot 11\]
\[11\cdot (-19) - 42\cdot (-5)\]
бұдан \(x_0 = -19, \ y_0 = -5\), демек
\[4 = 11\cdot 9(-76) – 42 (- 20) , \ \text{яғни } 11x – 42y = 4 \ \text{теңдеуінің бүтін шешімдері}\]
\[x = 42t – 76 , \ y = 11t – 20, \ t = 1 \ \text{болғанда} \ x = -34, \ y = -9, \ \text{ендеше}\]
\[x = 42t – 34 , \ y = 11t – 9 , \ t \in \mathbb{Z}\]
3) \(n_x = 11( 42t – 34 ) + 7 = 462t – 374 + 7 = 462t – 367 = 462(t – 1) +95= 462d + 95\)
\[n_y = 42(11t – 9) + 11 = 462t – 378 + 11 = 462(t – 1)+95 = 462d + 95, \ d \in \mathbb{Z}\]
Жауабы: \(462d + 95, \ d \in \mathbb{Z}\)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.