Международная олимпиада 2023, Чиба, Япония, 2023 год

Найдите все составные натуральные числа $n>1$ со следующим свойством: если через $d_1, d_2, \ldots, d_k$ обозначить все натуральные делители числа $n$, причем $1=d_1 < d_2 < \ldots < d_k=n$, то $d_i$ делит $d_{i+1}+d_{i+2}$ для всех $1 \leqslant i \leqslant k-2$.

Комментарий/решение

Легко понять что $d_{k-2}$ делит $d_{k-1}$.Пусть $d_k=abc,d_{k-1}=ab$,$d_{k-2}=a$.$a,b,c>1$.$a,b,c \in N$.

$a<ac<abc$.$ac=ab$.$b=c \in P$.$d_2=k,d_3=k²$.Легко понять что все $d_i :k \in N,(i>1)$.Поэтому $n=p^x$.$p \in P,x \in N$.

Это точно IMO?

Не думаю

$d_{k-2}\mid d_{k-1}+d_k$

$d_k=n$

$d_{k-2}\mid d_{k-1}$

$$$$

$(i)k\geq 4$

$d_{k-2}\times d_3 = d_{k-1} \times d_2$

$d_2 \mid d_3$

$d_2 \mid d_4$

$d_2\mid d_3 \mid d_4+d_5$

$d_2 \mid d_5$

Аналогично:

$d_2\mid d_3,d_4, \dots , d_k$

$d_2 \in P$

$n=p^l$

$$$$

$(ii)k=3$

$d_2=p$

$d_2 \mid d_3$

$d_3=p^2=n$

$$$$

Шешуі:Жалпы R бөлінгіші бар құрама натурал сандарын

$n= 2^a\cdot 3^b\cdot 7^c\cdot\ldots\cdot p^s$ көбейтіндісі түрінде жазайық

$R= (a+1)(b+1)(c+1)\cdot\ldots\cdot(s+1)$, $R\geq4$

1)Алдымен әртүрлі екі көбейткіштен тұратын көбейтінділердің бірі

$n= 2^a\cdot 3^b$ көбейтіндісін қарастырайық. $R=4$ болсын, сонда алатынымыз

а) жағдай $a = b = 1$, $c =\ldots = s = 0$

$n = 2\cdot 3 = 6$

ә) жағдай $a=3$, $b = c =\ldots = s = 0$ $n = 2^3 = 8$

б) жағдай $b = 3$, $a = c =\ldots = s = 0$ $n = 3^3 = 27$

в) жағдай $a = b = c =\ldots = 0$, $s = 3$ $n = p^3$

$n = 6$, $d_2 = 2$, $d_3=3,d_4=6$. $d_i |(d_{i+1}+d_{i+2}) \,\, 1 \leq i < 3$ үшін есеп шарты орындалмайды.

$n = 8$, $n = 27$ және $n = p^3$ болғанда

$d_1 |(d_2+d_3)$, $d_2 |(d_3+d_4)$ $d_i |(d_{i+1}+d_{i+2}) \,\, 1 \leq i < 3$ үшін есеп шарты орындалады, яғни $d_i$ саны $d_{i+1}+d_{i+2}$ санын бөледі.

Дәл осылай енді $R = 5$, $n = 7^4$ мен $R = 6$, $n = 11^5$ сандарын қарастырып, есеп шартының $1 \leq i < 4$ және $1 \leq i < 5$ үшін де орындалатындығын, ал егер $n$ натурал санына тең болатын көбейтінді әртүрлі көбейткіштен тұрса, онда орындалмайтындығын оңай байқауға болады.

2) Есеп шартының орындалуына байланысты келесі гипотезаны аламыз

$n = p^s$ ал $R > 6$ болғанда

$d_1 |(d_2+d_3) = d_2 |(d_3+d_4) = \ldots = d_{(R-2)} |(d_{(R-1)}+d_R)$

3) Дәлелдеу $n = p^s$ құрама натурал санының барлық бөлгіштерінің саны

$R = s + 1$ болады. $d_1= 1$, $d_R = p^s$

$i = 1$ $d_1 |(d_2+d_3) = p^2+p=p(p+1)$

$i = 2$ $d_2 |(d_3+d_4)= 1/p^2 ( p^4+p^3)=p(p+1)$

…………………………………………………………………………………..

$i = R – 2$ $d_{(R-2)} |(d_{(R-1)}+d_R) = 1/p^{(s-2)} ( p^s+p^{(s-1)})=p(p+1)$

д.к.о.е.

Жауабы: $n = p^s$, $p - $ жай сан, $s\in\mathbb{N}$