Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2023 год

Для действительного числа $x$ выполнено равенство $x^2+x+1=0.$ Найдите значение выражения $x^{2023}+ \frac{1}{x^{2023}}$.

Комментарий/решение

если так подумать, то нет такого действительного $x$ который удовлетворяет равенству, а если $x$ комплексное то можно было бы посчитать

$x^2+x+1 = 0$ Это выражение идеально подходит под $x^3-1^3=(x-1)(x^2+x+1)$ откуда, $x^3-1=0 \Rightarrow x^3 = 1$

Теперь подставляем $x^3$ под $x^{2023}$, где $x^{2023} = (x^3)^{674}x = x^{2023}$. Соответственно нам нужно найти чему равно $x+\frac{1}{x}$ чтобы решить задачу.

$x+\frac{1}{x} \Rightarrow \frac{x^2+1}{x}$, а так как $x^2+1 = -x \Rightarrow \frac{x^2+1}{x} = \frac{-x}{x} = -1$