Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2023 год


Найдите все натуральные пары чисел (x,y), для которых выполнено равенство x3=y2+1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   5
1 года 7 месяца назад #

x3=y2+1 прибавляем 8 к обеим сторонам

x3+8=y2+9 (x+2)(x22x+4)=y2+9

Рассмотрим по мод 8,

1) x - четное, x30(mod8) y27(mod8)

Значит x - неч., x1,3(mod4)

Если x3(mod4)x33(mod4)y2+13(mod4)y22(mod4)

x1(mod4)y2+9=(x+1)(x22x+4)y2+9 x22x+4x22x+43(mod4)

Теорема Жирара гласит что если a2+b2 p=4k+3, pP, тогда a,b p

Лемма: Пусть A натуральное число, и A3 (mod 4), тогда всегда найдется простой делитель p числа A такой что p3 (mod 4)

Доказание Леммы: Разложим A на простые делители, тогда A=pd11pd22pdnn3 (mod 4), т.е. есть хотябы 1 p который 3 (mod 4)\

Используя лемму получаем y2+9=y2+32 x22x+4=4k+3 p=4n+3 y2 p и 9 p, p=3 Ответов нету

  0
11 месяца назад #

Можно было просто по mod 7