Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2023 год
Найдите все натуральные пары чисел (x,y), для которых выполнено равенство x3=y2+1.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
x3=y2+1 прибавляем 8 к обеим сторонам
x3+8=y2+9 ⇒ (x+2)(x2−2x+4)=y2+9
Рассмотрим по мод 8,
1) x - четное, ⇒ x3≡0(mod8) ⇒ y2≡7(mod8) ∅
Значит x - неч., x≡1,3(mod4) ⇒
Если x≡3(mod4)⇒x3≡3(mod4)⇒y2+1≡3(mod4)⇒y2≡2(mod4) ∅
x≡1(mod4)⇒y2+9=(x+1)(x2−2x+4)⇒y2+9 ⋮ x2−2x+4⇒x2−2x+4≡3(mod4)
Теорема Жирара гласит что если a2+b2 ⋮ p=4k+3, p∈P, тогда a,b ⋮ p
Лемма: Пусть A натуральное число, и A≡3 (mod 4), тогда всегда найдется простой делитель p числа A такой что p≡3 (mod 4)
Доказание Леммы: Разложим A на простые делители, тогда A=pd11∗pd22∗⋯∗pdnn≡3 (mod 4), т.е. есть хотябы 1 p который ≡3 (mod 4)\
Используя лемму получаем →y2+9=y2+32 ⋮ x2−2x+4=4k+3 ⋮ p=4n+3 ⇒y2 ⋮ p и 9 ⋮ p, p=3 ∅ Ответов нету
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.