Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2022 год

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $AB=AC$. $D$ нүктесі $B$ төбеден $AC$-ға жүргізілген биіктік табаны, ал $E$ нүктесі $D$ нүктесінен $BC$-ға түсірілген перпендикуляр табаны. $BC=AB+AD$ екені белгілі. $BE=CD$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $F \in DE \cap AB$ тогда из условия выходит что тр-и $BEF, \ CED$ подобны, значит $\dfrac{CD}{BF} = \dfrac{CE}{BE} \Rightarrow CD \cdot BE = BF \cdot CE$ так же из условия выходит что $CD$ касательная к окружности к $BDE$ откуда $CD^2 = CE \cdot BC$ и $AF=AD$ но так как $BF=AB+AF=AB+AD=BC$ тогда $CD \cdot BE = CD^2$ откуда $CD=BE$