9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы
O нүктесі — ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. AC және BC қабырғаларынан сәйкесінше M және N нүктелері алынған. P және Q нүктелері C нүктесімен бірге MN түзуінің бір жағында жатыр және △CMN∼△PAN∼△QMB ұқсастығы орындалады (ұқсастық дәл осы көрсетілген төбелер ретімен алынған). OP=OQ екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
P,A,N,C лежат на одной окружности, Q,B,M,C лежат на одной окружности. Тогда ∠CNM=∠PNA=∠PCA;∠CMN=∠QMB=∠QCB⇒∠PCA+∠QCB+∠MCN=180.
То есть PCQ - одна прямая. H=MN∩(PCNA),I=MN∩(CQBM), ∠CNM=∠PNA⇒∠CNP=∠HNA, поэтому PCAH - равнобокая трапеция. Так же определяется, что QCBI - равнобокая трапеция. Тем самым серединные перпендикуляры к QI и HP пересекаются в O. ∠HPQ=∠CNI=180−QIH, следовательно HPQI вписанный и OQ=OP.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.