Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы


O нүктесі — ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. AC және BC қабырғаларынан сәйкесінше M және N нүктелері алынған. P және Q нүктелері C нүктесімен бірге MN түзуінің бір жағында жатыр және CMNPANQMB ұқсастығы орындалады (ұқсастық дәл осы көрсетілген төбелер ретімен алынған). OP=OQ екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
1 года 10 месяца назад #

P,A,N,C лежат на одной окружности, Q,B,M,C лежат на одной окружности. Тогда CNM=PNA=PCA;CMN=QMB=QCBPCA+QCB+MCN=180.

То есть PCQ - одна прямая. H=MN(PCNA),I=MN(CQBM), CNM=PNACNP=HNA, поэтому PCAH - равнобокая трапеция. Так же определяется, что QCBI - равнобокая трапеция. Тем самым серединные перпендикуляры к QI и HP пересекаются в O. HPQ=CNI=180QIH, следовательно HPQI вписанный и OQ=OP.