8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, третья лига, 11-12 классы

Окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ в точках $C$ и $D$ соответственно, причём $A$ лежит между $C$ и $D$. Касательная к $\Gamma_2$ в точке $A$ вторично пересекает $\Gamma_1$ в точке $E$. На $\Gamma_2$ нашлась такая точка $F$, что $F$ и $A$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $BD$ и $2\angle AFC = \angle ABC$. Докажите, что касательная к $\Gamma_2$ в точке $F$ и прямые $BD$ и $CE$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Сделаем инверсию с центром $A$. Будем обозначать $X'$ - образ точки $X$. Тогда $\Gamma_1,\Gamma_2$ перейдут в прямые $C'E'',F'B'$, соответственно, а $B'$ их пересечение. Из $2\angle AFC=\angle ABC$ имеем, что $2\angle AC'F'=\angle AC'B'$, то есть $C'F'$ - биссектриса $\angle AC'B'$;Также $AE'||B'D'$.

Касательная к $\Gamma_2$ в точке $F$ переходит в окружность $\omega$, который касается $B'D'$ в точке $F'$ и проходит через $A$. Таким образом необходимо доказать, что $\omega,(AC'E'),(AB'D')$ проходят через одну точку, т.е. соосны.

Пусть точка $X\in B'D'$ такая, что $AX$ касается $(B'D'C')$(откуда она касается и $AE'C'$). Тогда счётом углов несложно получить, что $XC'=XF'$. Следовательно $$pow_{(B'C'D')}X=XB'\cdot XD'=XC'^2=XF'^2$$ $$pow_{(C'E'A)}X=XC'^2$$ $$pow_{(AB'D')}X=XB'\cdot XD'$$ $$pow_{\omega}X=XF'^2$$ Это значит, что $AX$ общая радикальная ось окружностей $(AB'D'),\omega,(C'E'A)$, что требовалось