Республиканская юниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

У Саши есть $n$ шахматных королей. Оказалось, что как бы Саша не пытался расставить этих королей на шахматной доске $8\times 8$, всегда найдутся два короля, которые бьют одну и ту же клетку. Определите наименьшее возможное значение $n.$

Комментарий/решение

Поставим королей в углы так как надо чтобы два короля не били две клетки то тогда межде королями должно быть расстояние 2 клетки тогда свободных останется 48 поставим ещё 4 короля к стороне так чтобы 2короля не били 1 клетку тогда останется 24 свободных клеток но у нас останется у каждой стороны 2 свободные клетки и если на них короля поставим они будут бить вражескую зону. У нас осталось 16 клеток так как к сторонам никак не поставить то у нас осталось поставить в середину значит 1 король 9 клеток останется 7 лишних клеток в них нельзя поставить короля

Ответ:9

Ответ равен 10ти т.к. Мы никак не можем разместить n королей на доске

Очевидно, что есть три вида королей по количеству клеток, которые они занимают и бьют, те кто бьют 4, 7 и 10 клеток.4 клетки бьют короли, стоящие в углу, 7 клеток бьют короли, стоящие вдоль стороны доски и 10 клеток бьют свободно стоящие короли. Максимальная сумма этих королей-64. Постараемся поставить наибольшее число королей. Ставим 4 короля в углы, 16 клеток уже заняты и/или бьются, следующими ставим королей близ краев доски, таковых мы можем поставить максимально 4, сумма всех клеток королей уже 44. Остаются места для свободно стоящих королей, ставим двоих, сумма всех клеток у королей-64, подходит условию, всего было использовано . Ответ:10 королей. Предположим не будем использовать королей в углу, тогда у нас поместится 7 королей около границ, 28 клеток, осталось 36 клетой, куда поместятся только 3 короля с 10 клетками, ответ не изменился.

1. Один король может побить любую фигуру, которая стоит на расстоянии 1 клетки от него. Т.е ХХХ

ХКХ

ХХХ

Значит нужно расставлять так, чтобы король имел максимальное кол-во клеток в контроле (Х). Таким образом, можно расставить 4 короля. Далее, расставляем боковые при условии:

ХКХ

ХХХ. Это ещё 4. И останется 1 король в углу доски. Это n-1, значит n=10