Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып


Әрбір a,bS үшін ЕҮОБ(a,b)=|ab| болатындай әртүрлі 2004 оң бүтін саннан тұратын S жиынын табуға бола ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Можно.
Построим данное множество индукцией по числу элементов n>2. При n=2 пусть a=3, b=2. Если такое множество из k чисел уже построено, то для построения набора из k+1 числа достаточно прибавить к каждому из них по N! и добавить (k+1)-е число, равное N!, где N — число, большее любого из имевшихся чисел.

  1
7 года 3 месяца назад #

Ответ: нельзя

Решение. Рассмотрим два произвольных элемента множества S :ai и aj. Рассмотрим два случая:

1) НОД(ai;aj)=1, то есть эти два числа взаимопростые. Имеем 1=|aiaj|

2) НОД(ai;aj)>1, то есть эти два числа имеют общий множитель m>1 . Имеем m=m|aiaj|; откуда1=|aiaj|

То есть для любых ai и aj должно выполниться условие 1=|aiaj|. Понятно, что 2004 целых и неравных между собой целых чисел, удовлетворяющих этому условию, собрать нельзя. Отсюда следует, что S не существует.

  1
7 года 3 месяца назад #

Можно построить пример такого множества.