Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. Можно.
Построим данное множество индукцией по числу элементов n>2. При n=2 пусть a=3, b=2. Если такое множество из k чисел уже построено, то для построения
набора из k+1 числа достаточно прибавить к каждому из них по N! и добавить (k+1)-е число, равное N!, где N — число, большее любого из имевшихся чисел.
Ответ: нельзя
Решение. Рассмотрим два произвольных элемента множества S :ai и aj. Рассмотрим два случая:
1) НОД(ai;aj)=1, то есть эти два числа взаимопростые. Имеем 1=|ai−aj|
2) НОД(ai;aj)>1, то есть эти два числа имеют общий множитель m>1 . Имеем m=m|ai−aj|; откуда1=|ai−aj|
То есть для любых ai и aj должно выполниться условие 1=|ai−aj|. Понятно, что 2004 целых и неравных между собой целых чисел, удовлетворяющих этому условию, собрать нельзя. Отсюда следует, что S не существует.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.