5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур
Есть 50 карточек, на них написано число от 1 до 50, каждая по одному разу. Костя и Виталик по очереди берут по одной карточке, пока все карточки не будут разобраны. Костя берет первым и хочет добиться того, чтобы сумма чисел на его карточках делилась на 25. Виталик хочет помешать этому. Сможет ли Костя добиться своей цели?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Разобьём эти карточки на 2 ряда :
1,2,...,25;
26,27,...,50;
Заметим для каждого числа x<25 есть два числа y и z, где x+z,x+y кратны 25. Каждый возьмёт поровну карточек (тоесть 25). А значит Косте нужно первым ходом взять карточку 25. Назовем "цепочкой" , где в цепи есть число m,50−m,25+m,25−m Таких цепочек 12( без учёта цепи 25,50)
Костику достаточно брать 2 числа из одной какой-то цепи. Когда Костик взял 25, теперь ход Виталика. Виталик берет произвольное число Костик берет другое число, которое в сумме с числом , который взял Виталик делится на 25 и оно должно быть из этой же цепочки. И так Костик выигрывает симметрией.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.