Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып

Кез келген оң нақты $a,b$ және и $c$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер: $\left( \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{2} \right)\left( \dfrac{b}{c+a}+\dfrac{1}{2} \right)\left( \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{1}{2} \right)\ge 1$.

Комментарий/решение

$\cfrac{2a+b+c}{2(b+c)}\cdot\cfrac{2b+c+a}{2(c+a)}\cdot \cfrac{2c+a+b}{2(a+b)} \geqslant 1$

Пусть $x=a+b$, $y=b+c$, $z=c+a$, тогда получим:

$\cfrac{x+z}{2y}\cdot \cfrac{x+y}{2z}\cdot \cfrac{y+z}{2x} \geqslant 1$

$\cfrac{x+z}{2}\cdot \cfrac{x+y}{2}\cdot \cfrac{y+z}{2} \geqslant xyz$

$\cfrac{x+z}{2}\cdot \cfrac{x+y}{2}\cdot \cfrac{y+z}{2} \geqslant \sqrt{xz}\cdot\sqrt{xy}\cdot\sqrt{yz}$