39-я Балканская математическая олимпиада. Кипр, 2022 год
Комментарий/решение:
Заметим что OA⊥AX,OB⊥BX значит точки A,Y,O,B,X лежат на одной окружности с диаметром OX. Заметим что ∠CZA=∠BAX=∠ABX=∠AYX значит ZCYA вписанный. Легко увидеть что △CAZ∼△ABC. B силу того что ∠AZY=∠ACY то ZY и CY изогонально сопряженные чевианы в подобных треугольниках, но так как CY семидиана значит ZY медиана
Альтернативное решение:
F∈BX∩ZC если H середина ZF тогда CHOY вписан в ω1 если E∈ω1∩AC, G∈ω1∩BC тогда при гомотетий (C,2) ω1−>ω если Y−>Y′ покажем что если Z′∈Y′A∩CZ тогда ZZ′=ZC вытекает из того что AB поляра точки X значит если L∈XC∩AB тогда точки (XL,Y′C)=1 образуют гармоническую четверку то есть CLLY′=CXXY′ откуда ZZ′=ZC значит E середина AC и E∈ZY так как переходит в Z′Y′.
Так как Y это проекция из O на семидиану отсюда Y это точка Балтая в треугольнике ABC. Пусть точка E пересечение CX с окружностью.Тогда ABCE гармонический и Y будет центром диагонали то есть центром CE. Если возьмем центр AC как D тогда YD||AE и докажем что YZ||AE отсюда будет следовать что Y,D,Z- коллинеарны.Заметим что ∠ZAY+∠ZCY=180 значит ZCYA-вписанный. Отсюда ∠YZC=∠YAC=∠BAE значит YZ||AE.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.