Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

39-я Балканская математическая олимпиада. Кипр, 2022 год


Пусть ABC является остроугольным треугольником с описанной окружностью ω и центром описанной окружности O так, что CACB. Пусть τA и τB являются касательными к окружности ω в точках A и B соответственно, которые пересекаются в точке X. Пусть точка Y является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на отрезок CX. Прямая, проходящая через точку C, параллельная прямой AB, пересекает τA в точке Z. Докажите, что прямая YZ проходит через середину отрезка AC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   6
2 года 11 месяца назад #

Заметим что OAAX,OBBX значит точки A,Y,O,B,X лежат на одной окружности с диаметром  OX. Заметим что CZA=BAX=ABX=AYX значит ZCYA вписанный. Легко увидеть что CAZABC. B силу того что AZY=ACY то ZY и CY изогонально сопряженные чевианы в подобных треугольниках, но так как CY семидиана значит ZY медиана

пред. Правка 3   4
2 года 11 месяца назад #

Альтернативное решение:

FBXZC если H середина ZF тогда CHOY вписан в ω1 если Eω1AC, Gω1BC тогда при гомотетий (C,2) ω1>ω если Y>Y покажем что если ZYACZ тогда ZZ=ZC вытекает из того что AB поляра точки X значит если LXCAB тогда точки (XL,YC)=1 образуют гармоническую четверку то есть CLLY=CXXY откуда ZZ=ZC значит E середина AC и EZY так как переходит в ZY.

  2
11 месяца 2 дней назад #

Так как Y это проекция из O на семидиану отсюда Y это точка Балтая в треугольнике ABC. Пусть точка E пересечение CX с окружностью.Тогда ABCE гармонический и Y будет центром диагонали то есть центром CE. Если возьмем центр AC как D тогда YD||AE и докажем что YZ||AE отсюда будет следовать что Y,D,Z- коллинеарны.Заметим что ZAY+ZCY=180 значит ZCYA-вписанный. Отсюда YZC=YAC=BAE значит YZ||AE.