Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып
Жазықтықта ұзындықтарының қосындысы бірге тең 2003 кесінді берілген. Осы кесінділерінің проекцияларының қосындысы 2/3-тен кіші болатындай қандай да бір l түзуі табылатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Идея решения почерпнута (или украдена, кому как нравится) отсюда:https://dxdy.ru/post163138.html
1)Рассмотрим отрезок длиной a. Возьмем некоторую прямую L, составляющую с a угол φ
2)Длина проекции a на L равна a⋅|cosφ|
3)Будем варьировать φ от −π2 до π2. Среднее значение проекции отрезка a на L равна
aaverage=1ππ2∫−π2acosφdφ=2aπ
4)Средняя сумма проекций 2003 векторов
Σaverage=2π⋅(a1+...+a2003)=2π⋅1=2π
5)Теорема о средних: функция не может всюду превышать свое среднее значение
А значит, можно найти L, сумма длин проекций на которую не превысит 2π
6)2π<23, задача доказана
PS. До поисков в интернете я смог получить среднюю длину векторов 2/π, правда из других соображений. Не хватило последнего шага - теоремы о средних
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.