Processing math: 100%

Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып


Жазықтықта ұзындықтарының қосындысы бірге тең 2003 кесінді берілген. Осы кесінділерінің проекцияларының қосындысы 2/3-тен кіші болатындай қандай да бір l түзуі табылатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
2 года 2 месяца назад #

Идея решения почерпнута (или украдена, кому как нравится) отсюда:https://dxdy.ru/post163138.html

1)Рассмотрим отрезок длиной a. Возьмем некоторую прямую L, составляющую с a угол φ

2)Длина проекции a на L равна a|cosφ|

3)Будем варьировать φ от π2 до π2. Среднее значение проекции отрезка a на L равна

aaverage=1ππ2π2acosφdφ=2aπ

4)Средняя сумма проекций 2003 векторов

Σaverage=2π(a1+...+a2003)=2π1=2π

5)Теорема о средних: функция не может всюду превышать свое среднее значение

А значит, можно найти L, сумма длин проекций на которую не превысит 2π

6)2π<23, задача доказана

PS. До поисков в интернете я смог получить среднюю длину векторов 2/π, правда из других соображений. Не хватило последнего шага - теоремы о средних