Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур регионального этапа

Существует ли треугольник, у которого длины не совпадающих между собой медианы и высоты, проведенных из одной его вершины, соответственно равны длинам двух сторон этого треугольника? ( Н. Агаханов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Возьмём треугольник $ABC,$ где $AB = BC$ и высота $BH,$ проведенная из вершины $B,$ равна $2AC$ (очевидно, такой существует). На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD = AC.$ В треугольнике $ABD$ высота $BH$ равна стороне $AD = 2AC,$ а медиана $BC$ равна стороне $AB.$ Другим примером служит прямоугольный треугольник, у которого медиана, проведённая из вершины острого угла, образует с катетом, выходящим из той же вершины, угол $30^\circ.$