Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур регионального этапа

Сумма остатков от деления трёх последовательных натуральных чисел на 2022 — простое число. Докажите, что одно из чисел делится на 2022. ( Н. Агаханов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть наши числа равны $k,$ $k+1$ и $k+2,$ и ни одно из них не делится на 2022. Тогда если остаток от деления числа $k$ на 2022 равен $r > 0,$ то остатки от деления на 2022 чисел $k+1$ и $k+2$ равны, соответственно, $r+1$ и $r+2,$ а сумма трёх остатков равна составному числу $3r+3 = 3(r+1).$ Противоречие.
   Замечание. Описываемая в условии задачи ситуация возможна. Если первое (наименьшее) из чисел делится на 2022, то числа дают соответственно остатки 0, 1 и 2 при делении на 2022, сумма которых равна простому числу 3.