Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур дистанционного этапа


Найдите все такие тройки положительных чисел a,b,c, что a+b+c=ab+ac+bc=abc. ( И. Рубанов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Таких чисел не существует.
Решение. Первое решение. Поделив равенство ab+ac+bc=abc на abc, получим 1a+1b+1c=1, откуда a>1, b>1, c>1. Но тогда ab>a, ac>c, bc>b и ab+ac+bc>a+b+c.
Решение. Второе решение. Если верно равенство из условия, то верно и равенство (ab+ac+bc)2=abc(a+b+c). Но после раскрытия скобок и приведения подобных членов из него получается равенство, где в одной части — положительная величина, а в другой — 0, что невозможно.
Решение. Третье решение. Заметим, что для любых положительных x, y и z выполнено неравенство (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=(x2+y2)/2+(y2+z2)/2+(z2+x2)/2+2(xy+yz+zx)3(xy+yz+zx). Полагая x=ab, y=bc, z=ca, получаем (ab+bc+ca)23abc(a+b+c), что противоречит условию.

  2
3 года 4 месяца назад #

Умножив 1 и 3, и приравняв к квадрату второго, вы получите что числа не больше 0.

Соответсвенно противоречие.

  0
3 года 2 месяца назад #

таких чисел не существует