38-я Балканская математическая олимпиада. 2021 год

Пусть $a$, $b$ и $c$ являются натуральными числами, удовлетворяющие уравнению $\text{НОД}(a,b)+\text{НОК}(a,b)=2021^c.$ Если $|a-b|$ является простым числом, то докажите, что число $(a + b)^2 + 4$ является составным.

Комментарий/решение

$НОД(a,b)$ $=$ $d$.

Тогда, $|a-b|$ $=$ $d(a_1-b_1)$. Значит $d \in{1,p}$.

Если $d=p$, тогда

$$d+da_1b_1=2021^c$$

Значит $d=43$ или $d=47$. Б.О.О. $a>b$, тогда $a_1-b_1=1$, или $a_1=b_1+1$. Пусть $d=43$. Тогда у нас:

$$43(b_1^2+b_1+1)=2021^c$$

Значит $b_1^2+b_1+1$ делится на $47$. Заметим что, число $47$ простое и оставляет $2$ по модулю $3$. Тогда по общеизвестной лемме $b_1, 1$ делятся на 47. Противоречие.

Теперь пусть $d=47$, тогда

$$(a+b)^2+4 \equiv 4-8+4 \equiv 0\pmod 5$$ Так как это число больше $5$, значит оно составное.

Теперь рассмотрим случай $d=1$. У нас выйдет:

$(1)a-b=p$

$(2)1+ab=2021^c$

Заметим что:

$$(a+b)^2+4=(a-b)^2+4ab+4=p^2+4×2021^c$$ .

Предположим что это число простое. Допустим $c$ чётное. Тогда если $p \ne 2$ по общеизвестной теореме мы не можем представить простое число как сумма двух квадратов двумя способами. Теперь пусть $p=2$. Тогда наше исходное число чётное и больше 2. Значит оно составное.

Теперь пусть $c$ нечётное. Если $p=3$, тогда у нас:

$$(a+b)^2 \equiv 4×2021^c+3^2-4 \equiv 5 \pmod{43}$$ .

Так как $5$ квадратичный вычет:

$$1=\left(\frac{5}{43}\right)=\left(\frac{43}{5}\right)=\left(\frac{3}{5}\right)=-1$$

Противоречие. Если $p>3$, $c$ нёчетное, тогда у нас:

$$(a+b)^2+4 \equiv 4 \times(-1)^{c}+1 \equiv 0 \pmod{3}$$ .

Тогда наше число делится на $3$ и $>$ $3$, значит оно составное.