38-я Балканская математическая олимпиада. 2021 год

Пусть $ABC$ является треугольником, у которого $AB < AC$. Пусть $\omega$ является окружностью, проходящей через $B$, $C$ и допустим, что $A$ находится внутри $\omega$. Предположим, что $X$, $Y$ лежат на $\omega$ и $\angle BXA = \angle AYC$. Предположим также, что $X$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $AB$, а также $Y$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Покажите, что при изменении $X$, $Y$ на $\omega$ прямая $XY$ проходит через некоторую фиксированную точку.

Комментарий/решение

Подсказка: Нужно рассмотреть инверсию с центром в точке $A$ и с коэффициентом $R=\sqrt{|pow_{\omega}(A)|}$ в композиции с центральной симметрией с центром $A$.

$\textbf {Подсказка:}$ можно через moving points

Пусть $ABC$ — треугольник, $AB > AC$. Пусть $\omega$ — окружность, проходящая через $B, C$ и

предположим, что $A$ находится внутри $\omega$. Предположим, что $X, Y$ лежат на $\omega$ так, что $\angle XBA = \angle ACY$. Предположим также, что $X$ и $C$ лежат по разные стороны прямой $AB$, а $Y$ и $B$ лежат по разные стороны прямой $AC$. Покажите, что при изменении $X, Y$ на $\omega$ описанная окружность $AXY$ проходит через фиксированную точку.

Пусть $XA \cap \omega = Z$ и $YA \cap \omega = T$ и $XY \cap$ прямая параллельная $BC$ проходящяя через $A = P$. Заметим то что $BZ = CT$ так как по условии $\angle BXA = \angle AYC$, значит $BC \parallel ZT$ или $BC \parallel AP \parallel ZT \Rightarrow \angle XYA = \angle XZT = \angle XAP \Rightarrow AP$ касается $(AXY) \Rightarrow pow(P, \omega) = pow(P, A) = AP ^ 2$, еще мы имеем то что $\omega , A$ - фиксированные, т.к. движется только $X, Y$ и то что $P$ лежит на радикальной оси $(AXY) , (A) \Rightarrow AP ^ 2$ - фиксированное $\Rightarrow P$ - фиксированное. И у нас $XY$ всегда пересечет прямую параллельную $BC$ проходящяя через $A$ из того что $AB < AC. \square$